Matrix und Matrizen - Grundlagen (2024)

Im Kapitel “Gleichungssysteme” fiel bereits der Begriff “Matrix”. Eine Matrix (bzw. Plural “Matrizen”). Wie dort erläutert, werden Matrizen verwendet, um “vereinfacht” lineare Gleichungssysteme darzustellen bzw. zu beschreiben. Gemäß der mathematischen Definition versteht man unter einer Matrix eine quadratische (2,2-Matrix) bzw. eine rechteckige Anordnung von mathematischen Objekten (z.B. Zahlen), wobei jede Matrixaus m Zeilen und n Spalten aufgebaut wird. Daher wird jede Matrix mit (m,n)-Matrix genauer gekennzeichnet.

Matrix bzw. Matrizen in der Mathematik – Grundlagen

Jede (m,n)-Matrix ist durch Zeilen und Spalten gekennzeichnet. Dabei hat jede Matrixm-Zeilen. Die Zahl “m” steht dabei für die Anzahl der Zahlen bzw. Variablen, die in einer Matrix untereinander stehen. Manchmal werden die Zeilen einer Matrixauch als sogenannte Zeilenvektoren bezeichnet (oft hilft das um spezielle Lösungen eines Gleichungssystems zu bestimmen). Neben den m-Zeilen wird die Matrix noch durch n-Spalten aufgebaut. Die Zahl “n” steht dabei für die Anzahl der Zahlen bzw. Variablen, die in einer Matrix nebeneinander stehen. Manchmal werden die Spalten einer Matrixauch als sogenannte Spaltenvektoren bezeichnet (Aufbau einer Matrix: siehe nachfolgende Abbildung)

Jede Matrix einhält in den Zeilen und Spalten zugeordnet die sogenannten Elemente einer Matrix (manchmal auch als Objekte einer Matrix bezeichnet). Jedes Elementwird durch einen Index mn gekennzeichnet. Der erste Index ist der Zeilenindex m und gibt die Position in der Zeile an (also die Position non links nach rechts in der Horizontalen). Der zweite Index ist der Spaltenindex n (also die Position von oben nach unten in der Vertikalen).

Beispiel: das Element a₁₂ steht für das Element in der 1. Zeile und der 2. Spalte.

Spezielle Matrizen

Auch wenn Matrizen erst in der Oberstufe genauer untersucht und beschrieben werden, so sollten spezielle Matrizen bekannt sein:

• Nullmatrix: Matrix, die ausschließlich Nullen als Elemente in den Zeilen und Spalten enthält (=> alle Elemente sind gleich Null)
• Spaltenmatrix: Matrix, die nur aus einer Spalte besteht
• Zeilenmatrix: Matrix, die nur aus einer Zeile besteht
• Einheitsmatrix: Alle Elemente der Hauptdiagonalen haben den Wert “1” und alle anderen Elemente den Wert “Null”

Rang einer Matrix

Der sogenannte Rang einer Matrix hat vor allem in der Oberstufe eine Bedeutung, so lassen sich mit Hilfe des Ranges einer Matrix die Lösungsmöglichkeiten (keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen) eines linearen Gleichungssystems vorhersagen. Dazu wird die Matrix in die sogenannte Zeilenstufenform überführt (durch Zeilenumformungen). Der Rang einer Matrix entspricht nun der Anzahl der Zeilen, die nicht nur Null in der kompletten Zeile enthalten (also keine Nullzeilen sind). Daher kann der Rang einer Matrix niemals größer sein als die Zahl der Zeilen (oder Spalten) der Matrix.

Matrix und Matrizen in der Mathematik – Grundlagen – Testfragen/-aufgaben

1. Was ist eine Matrix in der Mathematik?

Eine Matrix ist eine zweidimensionale Anordnung von Zahlen, Symbolen oder Ausdrücken, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind.

2. Wie sind Matrizen in der Mathematik üblicherweise dargestellt?

Matrizen sind in der Regel durch eckige Klammern dargestellt, wobei die Elemente innerhalb der Klammern durch Kommata getrennt sind. Jede Zeile ist durch einen Semicolon getrennt.

3. Was ist eine quadratische Matrix?

Eine quadratische Matrix ist eine Matrix, bei der die Anzahl der Zeilen gleich der Anzahl der Spalten ist.

4. Benenne die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix.

Die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix ist die Diagonale, die sich von der oberen linken Ecke zur unteren rechten Ecke erstreckt.

5. Was ist eine Einheitsmatrix?

Eine Einheitsmatrix ist eine spezielle Art von quadratischer Matrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonalen 1 sind und alle anderen Elemente 0 sind.

6. Wie addiert man zwei Matrizen?

Zwei Matrizen werden addiert, indem man jedes Element in der gleichen Position in den beiden Matrizen zusammenzählt. Dies ist nur möglich, wenn beide Matrizen die gleiche Dimension haben.

7. Wie multipliziert man zwei Matrizen?

Zwei Matrizen werden multipliziert, indem man die entsprechenden Einträge in den Zeilen der ersten Matrix mit den Einträgen in den Spalten der zweiten Matrix multipliziert und diese dann zusammenzählt. Dies ist nur möglich, wenn die Anzahl der Spalten in der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen in der zweiten Matrix ist.

8. Was bedeutet es, eine Matrix zu transponieren?

Das Transponieren einer Matrix bedeutet, die Zeilen und Spalten der Matrix zu vertauschen. Die erste Zeile wird zur ersten Spalte, die zweite Zeile zur zweiten Spalte und so weiter.

9. Wie berechnet man die Determinante einer Matrix?

Die Determinante einer Matrix ist eine spezielle Zahl, die aus den Elementen der Matrix berechnet wird. Für eine 2×2-Matrix ist die Determinante das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen minus das Produkt der Elemente auf der Nebendiagonalen.

10. Was ist die Inverse einer Matrix und wie berechnet man sie?

Die Inverse einer Matrix ist eine spezielle Matrix, wenn sie mit der ursprünglichen Matrix multipliziert wird, ergibt sich die Einheitsmatrix. Sie wird berechnet, indem man zuerst die Adjunkte der Matrix berechnet und diese dann durch die Determinante der ursprünglichen Matrix teilt.