Pädagogische Einführung zu dem Projekt "Auf den Spuren des Eratosthenes" (2024)

Dieses Projekt wird seit September2000 auf der französischenInternetplatt­form vonLa main à la pâte angeboten. Seitdem haben schonTausende von Schülern in der ganzen Welt den Umfang der Erdegemessen, genauso wie es vor über 2200Jahren ein gewisserEratosthenes bereits getan hatte. Lassen Sie uns hier in wenigen Wortendas Prinzip des Experiments zusammenfassen: Man stellt einen Stabsenkrecht an einen von der Sonne beschienenen Ort auf und misst dieLänge seines Schattens. Und zwar wird diese Messung genau danndurchgeführt, wenn die Sonne am höchsten steht. Anschließend be­stimmtman den Winkel, den die Sonnenstrahlen mit der Senkrechten bilden undtauscht den herausgefundenen Wert für den Winkel mit einer auf einemanderen Breitengrad liegenden Partnerschule aus. Danach kann man aufzeich­nerischem Wege und mit Hilfe des Dreisatzes den Erdumfang berechnen.

Ein interdisziplinäres Projekt

Bei diesem Projekt kommen die Kinder, häufig auf spielerische Weise, mitzahl­reichen Wissensgebieten in Berührung und können sich dadurchvielfältige Kenntnisse aneignen (wovon viele Teil der Rahmenlehrpläne sind).

• Geschichte und Erdkunde: Um Schülern Zeit und Wirkungsort desEra­tosthenes näherzubringen, geht es zunächst um das alte Ägypten. AmEnde des Projektes lernen sie, sich auf der Erde zu orientieren, um denStandort eines oder mehrerer Partnerschulen finden zu können.
• Astronomie: An der Schattenlänge eines einfachen Stabes lässt sichdie Bahn der Sonne im Laufe des Tages verdeutlichen. Weiterhin kann man denZeitpunkt ablesen, an dem die Sonne ihren höchsten Stand erreicht, und mankann beobachten, wie sich die Bahn der Sonne mit den Jahres­zeiten verändert.
• Physik: Licht und Schatten stehen im Mittelpunkt des Projektes. Eswer­den entsprechende Experimente im Freien gemacht und die Beobachtun­genanschließend im Klassenraum nachgestellt.
• Technik: Die Schüler entwerfen, bauen, erproben und verbesserndie für die Messungen notwendigen Geräte: Gnomone, Senklote, Wasserwaagen,Winkelmesser und Quadranten.
• Mathematik, insbesondere Geometrie: In dem Projekt geht es umpa­rallele Geraden, um Winkel, Dreiecke, Kreise, um gleiche Winkel,Längen­verhältnisse usw.
  Anmerkung: Die Tatsache, dass acht- bis elfjährige Schüler erstelemen­tare Mathematikkenntnisse besitzen, könnte als echtes Hindernisfür die Durchführung eines solchen Vorhabens erscheinen. Sicher, wennman be­denkt, dass die zu erlernenden Begriffe nur formal gestreiftwerden kön­nen. Aber es ist durchaus möglich, sich diese Begriffe impraktischen Um­gang mit Pauspapier, Schablonen, Papiermessstreifen,Winkelmessern und sogar mir Schnurstücken (zur Messung von Kreisbögen)anzueignen. Die Kinder brauchen ja keine Eigenschaften von geometrischenFiguren herzu­leiten, sie sollen lediglich die Besonderheiten, die sie aneiner geometri­schen Figur beobachten, untersuchen, oder aus einerangedeuteten Skizze die weitere "Entwicklung" dieser Figur erkennen. Mankann also hier von einer Art "experimenteller Geometrie" sprechen. Wenndieses Projekt mit Oberschülern durchgeführt wird, wird mannatürlich von ihnen logi­sches Denken und Abstraktionsvermögen verlangen,so dass einige Etap­pen des Projektes auf klassischere Artdurchgenommen werden können.
• Sprache in Wort und Schrift: Die Sprache spielt natürlich beiallen Akti­vitäten eine Rolle, insbesondere beim experimentellen Vorgehennach der La main à la pâte eigenen Methode: DieSchüler stellen Vermutungen an, schlagen Experimente vor,beschreiben ihre Beobachtungen und ziehen daraus Schlüsse; mündlichoder/und schriftlich. Für das Schriftliche haben sie ein Versuchsheft,in dem sie laufend ihre Beobachtungen, Gedanken und Erfahrungenfesthalten können.
• Informations- und Kommunikationstechnologie: Das Internet brau­chendie Kinder zu Recherchezwecken und um die Ergebnisse ihrer Mes­sungen undBerechnungen mit einer oder mehrerer Partnerschulen aus­zutauschen.
• Bildende Kunst: Bei diesem Projekt kann jeder seine kreativenFähig­keiten zeigen: Zeichnungen zur Geschichte des Eratosthenes, Comics,Modelle zur Veranschaulichung der Experimente, kalligrafische Spielemit Hieroglyphen und griechischen Buchstaben.

Kinder mit schulischen Schwierigkeiten haben bei diesen Aktivitäten – insbesondere beim Experimentieren – Gelegenheit, ihre Fantasie, ihrImprovisationstalent und ihre manuelle Geschicklichkeit unter Beweis zustellen. Gleichzeitig können sie sich in Teamarbeit üben. DieAnerkennung und Bewunderung seitens ihrer Mitschüler stärkt ihrSelbstbewusstsein und ermutigt sie dazu, sich auch in den anderenFächern zu verbessern.

Ein abwandelbares Projekt

Der Projektablauf, den wir Ihnen vorschlagen, ist der ideale Ablauf, denSie je­doch jederzeit modifizieren und den Umständen anpassen können: demAlter, dem Niveau und der Motivation Ihrer Schüler, derKlassengröße, der Zeit, die Sie für das Projekt aufwenden können oderwollen und, nicht zu vergessen, den Launen des Wetters. Auch dieAntworten und Vorschläge Ihrer Schüler werden manchmal dieMarschroute bestimmen, und das Projekt damit eine manchmal unerwarteteRichtung nehmen.

Fühlen Sie sich also völlig frei, den vorgeschlagenen Ablauf zu verändern.Sie sollten jedoch eins im Auge behalten: Entscheiden Sie sich lieber fürQualität als für Quantität. In der Tat, wenn Sie einige gut ausgewählteExperimente mit Ihren Schülern durchführen, und zwar im Sinne vonLa main à la pâte, wird das ausreichen, um IhreSchüler mit der Arbeitsweise echter Forscherinnen und Forscher vertraut zumachen. Wenn Sie stattdessen eine Vielzahl ober­flächlicher Aktivitätenplanen, wird das eher nicht gelingen.

Sie können den Ablauf also abkürzen, doch sollte er mindestens folgendefünf Etappen umfassen:

1. Gemeinsam nachweisen, dass die Erdoberfläche gekrümmt ist und dieSonnenstrahlen parallel.
2. Die Veränderung der Schattenlänge eines Stabes beobachten und daraus dieBahn der Sonne ableiten.
3. Den Sonnenmittag erkunden (d.h. den Zeitpunkt, zu dem der Schatten desStabs am kürzesten ist).
4. Einen Gnomon verwenden, zur Bestimmung des Winkels, den die Sonnen­strahlenmit der Senkrechten bilden.
5. Die Messwerte einer Partnerschule für die eigenen Berechnungen desErdumfangs verwenden. Dafür müssen auch die Standorte der eigenen und derPartnerschule bestimmt werden.

Abschließend noch einige Worte zum benötigten Material: Wie Sie sehenwer­den, handelt es sich um ganz einfaches, gebräuchliches, nicht teuresMaterial: Zeichenpapier, Pappe, Paus- und Millimeterpapier, Schrauben,kleine Sperrholz­platten, Schnur, Taschenlampen, Bälle, ein Globus.Zu Beginn jeder der fünf Projektphasen wird angegeben, was benötigt wird.

Die Beobachtungen des Eratosthenes

Im Jahr 205 vor Christus schlägt der griechische Gelehrte Eratosthenes,da­mals Leiter der berühmten Bibliothek von Alexandria, eine reingeometrische Methode zur Messung des Erdumfangs (genauer: des durch diePole gehenden Meridians) vor. Dazu muss man am Tag der Sommersonnenwendezum Sonnen­mittag – wenn die Sonne in der Nordhalbkugel ihren höchstenStand über dem Horizont erreicht – zwei Schatten beobachten, der einein Alexandria und der andere in Syene (dem heutigen Assuan). Syene liegtungefähr 800km südlich von Alexandria (diese Entfernung wurdemit Hilfe der Zeit abgeschätzt, die Kamelkarawanen benötigten, um von dereinen zur anderen Stadt zu gelan­gen). In Syene (das ungefähr auf demWendekreis des Krebses liegt) steht die Sonne an diesem Tag und zu diesemZeitpunkt senkrecht, so dass ihre Strah­len auf den Grund derBrunnenschächte fallen und die Schatten vertikaler Gegenständeverschwinden. In Alexandria steht die Sonne dagegen nicht senkrecht unddie gleichen Gegenstände besitzen einen – sehr kurzen –Schatten. Eratosthenes misst zu diesem Zeitpunkt die Schatten einesObe­lisken, dessen Höhe ihm bekannt ist, und er leitet daraus den Winkelab, den die Sonnenstrahlen mit der Senkrechten bilden: Er erhält einenWert von 7,2° (siehe Abb.1).

Abb. 1: Der Winkel zwischen den Sonnentrahlen und der Senkrechten

Diese Beobachtungen lassen ihn zwei Hypothesen aufstellen:

1. Die Erde ist flach (Abb.2a). Dann müsstedie Sonne allerdings nah genug sein, damit ihre Strahlen, wenn sie aufGegenstände fallen, die einen gewissen Abstand voneinander haben, mitdeutlich unterschiedlichen Winkeln einfallen. Wie man inAbb.2a sehen kann, führen die divergentenSonnentrahlen auf einer flachen Erde dazu, dass ein und derselbeGegenstand an verschiedenen Orten der Erdoberfläche einen unterschiedlichlangen Schatten hat, bzw. überhaupt keinen Schatten, wenn er direkt unterder Sonne steht (dann ist der Winkel zwischen Gegenstand und Sonnenstrahlennull).

2. Die Erde ist nicht flach (Abb.2b), ihreOberfläche ist gekrümmt und viel­leicht sogar kugelförmig. In diesem Fallwürden die unterschiedlich langen Schatten auch bei parallelenSonnenstrahlen zustande kommen. Dies setzt allerdings voraus, dass dieSonne weit genug, ja sehr, sehr weit entfernt ist – andernfallskönnten die Strahlen nicht überall auf der Erde parallel sein.

Abb. 2: Die 2 Hypothesen des Eratosthenes

Eratosthenes entscheidet sich für die zweite Hypothese. In der Antike wurdeschon länger vermutet, dass die Erde nicht plan ist. Man stützte sich dabeiauf diverse Beobachtungen, die eine gewisse Krümmung ihrer Oberflächenahe­legen: Der Seemann an der Spitze seines großen Mastes erblickt alserster die ferne Küste; der Beobachter an der Steilküste sieht das zumHorizont segelnde Schiff länger als derjenige, der am Strand gebliebenist; der Polarstern hat in Griechenland nicht die gleiche Höhe über demHorizont wie in Ägypten; und schließlich zeigt bei Mondfinsternissen derauf den Mond fallende Schatten der Erde einen kreisförmigen Ausschnitt.Von der Kugelform der Erde überzeugt, skizziert unser genialer Gelehrterseine verblüffend einfache und berühmt ge­wordene geometrische Zeichnung(Abb.3), mit der er die Länge des Erd­umfangs(den durch Alexandria und Syene gehenden Meridian) auf einfachem Wegeberechnen wird. Aber sehen Sie selbst!

Abb. 3: Die Zeichnung des Eratosthenes

Wenn die Erde rund ist und man die Senkrechte in Alexandria (Obelisk) undin Syene (Brunnenschacht) verlängert, treffen diese beiden Senkrechten sichper definitionem im Erdmittelpunkt. Außerdem weiß Eratosthenes, dassAlexandria und die genau südlich davon gelegene Stadt Syene ungefähr aufdem gleichen Meridian liegen. Da die Sonnenstrahlen parallel sind, entsprichtder von den beiden Senkrechten im Erdmittelpunkt gebildete Winkel demWinkel, der mit Hilfe des Schattens des Obelisken gemessenenwurde(7,2°). Dieser Winkel steht zu den 360° des Kreises im gleichenVerhältnis wie die Entfernung zwi­schen den beiden Städten (etwa 800km)zum Umfang der Erde. Sie erraten schon, wie es weiter geht: 360° geteiltdurch 7,2° ergibt50; und 800km mal50macht40000km (die Länge, die man später mit anderenVerfahren auch gefunden hat).

Und jetzt noch etwas für Mathematikfans

Wie weiter oben erwähnt, lassen sich die Beobachtungen des Eratosthenesauch unter der Annahme einer flachen Erde und einer sehr nahen Sonnever­stehen. Mit den Angaben des Eratosthenes kann man sogar genauberechnen, wie weit die Sonne dann von der Erde entfernt sein müsste.Bei einer flachen Erdoberfläche wäre der Tangens des Winkelsvon7,2° gleich der Entfernung Syene–Alexandria (800km)dividiert durch die Entfernung Erde–Sonne: Daraus ergibt sich,dass die Sonne800km/tan7,2=ca.6500km(das entspricht dem Erdradius) von der Erde entfernt wäre. Das wäreaußerordentlich nah. Heute weiß man, dass die Sonne ungefähr150Millionen Kilometer von uns entfernt ist.

Ein Versuchsprojekt auf die Klasse zuschneiden

Sie werden dieses Experiment in Kooperation mit einer anderen Klasse(deren geografische Koordinaten wir Ihnen angeben werden) durchführen,allerdings ohne Obelisk und ohne Brunnenschacht! Ein einfacher,senkrecht stehender Stab wird genügen, sowohl für Ihre Klasse als auchfür Ihre Partnerklasse. Die beiden Stäbe sollten möglichst gleich langsein, um den Vergleich der Schat­tenlängen zu erleichtern. Es muss auchnicht unbedingt eine der beiden Schu­len auf dem Wendekreis des Krebsesliegen! Dagegen ist es von Vorteil, wenn beide Schulen auf ganzunterschiedlichen Breitenkreisen liegen. In Abb.4a ist noch einmal gezeigt, was es mit denbeiden geografischen Koordinaten eines Ortes, dem Breitengrad und demLängengrad, auf sich hat. Liegen die beiden Schulen ungefähr aufdem gleichen Längenkreis (Abb.4b), so ist dassehr gut. Wenn nicht, ist das auch nicht weiter schlimm, schließlichmisst jede Schule die Schattenlänge zum "eigenen" Sonnenmittag. Wichtigist nur, dass nicht die direkte Entfernung zwischen den beiden Schulenfür die Berechnung genom­men wird, sondern der kürzeste Abstand zwischenden beiden Breitenkreisen (siehe Abb.4c).Diese Entfernung lässt sich sehr leicht berechnen, wie wir gleich nochsehen werden.

Abb. 4: Zur Bestimmung des Abstands zwischen den Breitenkreisen zweier OrtAundB

Man muss auch nicht bis zum Tag der Sommersonnenwende warten, um dieSchattenlänge zu messen. Sie können dies an jedem beliebigen Tag desJahres machen, wichtig ist nur, dass beide Schulen die Messung am gleichenTag durchführen. Es wäre allerdings gut, wenn Sie die Messungen an mehrerenTagen wiederholen würden. Auch hier müssen Sie sich natürlich mit IhrerPart­nerschule absprechen, an welchen Tagen dies geschehen soll. Jede Schulemuss dann für sich den Zeitpunkt des örtlichen Sonnenmittags bestimmen (dervon Ort zu Ort und an jedem Tag des Jahres verschieden ist). DenZeitpunkt des Sonnenmittags an Ihrem Ort können Sie als Lehrerin vorabmit Hilfe der Tabelle zur Berechnung des Sonnenmittagsschon mal heraussuchen, so dass Sie Ihre Schüler eine halbe Stundeum diesen Zeitpunkt herum nach dem kür­zesten Schatten suchen lassenkönnen. Ein Kinderspiel! Vorausgesetzt die Sonne scheint.

Beispiel: eine Schule in Calais und eine Schule in Ajaccio

Die Koordinaten der beiden Städte sind: Calais: Breite50°57'N,Länge1°52'O; Ajaccio: Breite41°55'N, Länge8°43'O.Nehmen wir an, die beiden Schulen hätten Anfang Januar mit den konkretenMessungen der Schattenlängen be­gonnen. Sie haben an mehreren Tagen,jeweils zum Zeitpunkt des örtlichen Sonnenmittags, die Schattenlängegemessen und ihre Werte mit der Partner­schule ausgetauscht. Sie stellendann zum Beispiel fest, dass sie beide Mess­werte für den 23.Januarhaben. Anhand dieser Messwerte können die Kinder dann mit Hilfe einersehr einfachen geometrischen Zeichnung (Abb.5)bis auf einen halben Grad genau den Winkel der Sonnenstrahlen mit derSenkrechten bestimmen (zum Zeitpunkt des örtlichen Sonnenmittags).Sie finden für Calais68,5° (Winkelα₁)und für Ajaccio59,5° (Winkelα₂) heraus.

Abb. 5: Bestimmung der Winkel in Calais und Ajaccio

Und wie ermittelt man aus diesen beiden Werten nun den berühmtenWinkelα (Abb.6a)? Ganz einfach,indem man den Winkelα₂ vomWinkelα₁ abzieht, was 9° ergibt. Man kann dieseSubtraktion auch zeichnerisch darstellen(Abb.6b): Man zeichnet auf Pauspapier denWinkelα₂ und legt ihn so auf denWinkelα₁, dass die beiden der Sonne zugewandtenSchenkel deckungsgleich sind. Der untere Schenkel des abgepausten Winkelsist dann parallel zur Senkrechten im OrtB, was dann wieder zurZeichnung des Eratosthenes führt (siehe Abb.3).

Abb. 6: Zur Bestimmung des Winkelsα

Da die beiden Partnerschulen nicht auf dem gleichen Längenkreis liegen, mussjetzt die kürzeste Entfernung zwischen dem Breitenkreis von Calais und demBreitenkreis von Ajaccio bestimmt werden, was ganz einfach ist: Auf eineKar­te von Frankreich zeichnet man sorgfältig die beiden Breitenkreise einund be­rechnet unter Berücksichtigung des Maßstabs der Karte die Entfernungzwi­schen den beiden Städten (Abb.7). Für Calaisun Ajaccio liegt der Wert bei ziemlich genau1000km.

Abb. 7: Zur Bestimmung der Entfernung zwischen den Breitenkreisen von Calais und Ajaccio

Wir haben jetzt die beiden Größen, die notwendig sind, um den Erdumfangnach der Methode des Eratosthenes zu berechnen, nämlich den Winkel(9°)und die Entfernung zwischen den beiden Breitenkreisen(1000km).Da das Verhältnis zwischen dem ermittelten Winkel und dem gesamten Kreis(9°zu360°) 40ist, bekommt man für den Erdumfang einenWert von 40×1000km, das heißt 40000km. Eine sehreinfache und praktische Methode zur Bestimmung des Erdumfangs, allerdingsmüssen die Messungen sehr genau durchgeführt werden, insbesondere wenn diegeografischen Breiten der beiden Schulen näher beieinander liegen.

Anmerkung

Es ist interessant zu wissen, dass – wie ausAbb.8 ersichtlich – die Differenz zwischenden beiden Breiten uns sofort den berühmten Winkelα liefert.Für die beiden Schulen aus unserem Beispiel kommtdemnach50°57'−41°55'=9°2' heraus.Die Schüler haben also sehr genau gemessen, denn der von ihnenermittelte Winkel von9° kommt diesem Wert sehr nahe.

Dieser direkte Weg zur Berechnung des Winkels sollte den Kindernnatürlich zu­nächst auf keinen Fall mitgeteilt werden! Ihnen denZusammenhang im Nach­hinein mitzuteilen, kann dagegen nützlich sein, umetwaige Fehler in ihren Messungen herauszufinden.

Abb. 8: Wie der Winkelα mit den Breitengraden zusammenhängt

Die verschiedenen Etappen des Projekts

Dieses Projekt ist für Schüler derKlassenstufen4bis6 und für Oberstufen­schülergedacht, doch können manche der in den ersten Etappen vorgeschla­genenAktivitäten bereits in der Lernstufe2 (1.bis 3.Klasse)durchgenommen werden. Den Grundsätzen von La main à lapâte entsprechend, sollte ganz besonders auf das eigenständigeNachdenken der Kinder geachtet werden. Sie sollten Hypothesenformulieren und sich die passenden Experimente ausden­ken, um dieseHypothesen zu überprüfen. Jeder Schüler sollte ein Experimen­tierheftführen, in das er mit Hilfe von Zeichnungen und kurzen Sätzenseine eigenen Nachforschungen festhält, außerdem die Ergebnisse dereigenen Grup­pe sowie die gemeinsam mit der ganzen Klasse erarbeitetenZusammenfassun­gen. Dadurch können Sie überprüfen, ob die in der Klassedurchgeführten Akti­vitäten von den Kindern verstanden wurden, und Siekönnen die Entwicklung jedes Schülers verfolgen.

Wir schlagen Ihnen folgende Etappen vor:

1. Anmeldung und Durchführung der ersten Unterrichtseinheiten.Bei der An­meldung für das Eratosthenes-Projekt werden Sie automatischin die Diskus­sionsliste für die am Projekt teilnehmenden Schulen mitaufgenommen. Sie können sich auf diese Weise mit den anderen beteiligten Lehrer austauschen.In der Liste sind auch Wissenschaftler und Pädagogenvertreten, die für die Beantwortung Ihrer Fragen verantwortlich sind.

2. Bei der Anmeldung erhalten Sie ein Passwort für den Zugangzum Online-Arbeitsbereich des Projektes.Dieser Arbeitsbereich erlaubt es jeder Klasse:

• ihre Messergebnisse auf der Webseite des Projektes zuveröffentlichen;
• die Koordinaten aller am Projekt beteiligten Klassen einzusehen;
• deren Messwerte abzurufen;
• den Standort der beteiligten Klassen auf einem Globus zuvisualisieren;
• zur Erinnerung an das Projekt eine Postkarte zu schreiben, sie sichanzu­schauen oder zu verändern/ergänzen.

3. Während des gesamten Projekts können die Klassen ihre Messwerte indiesem Arbeitsbereich eintragen. Über die Diskussionsliste könnensimultane Messungen mit (einer) Partnerschule(n) geplant werden.

4. Am 21. Juni stellen die Klassen das historische Experiment nach, mitdem es Eratosthenes vor über zwei Jahrtausenden gelungen ist, den Umfangder Erde zu messen!

Letzte Aktualisierung: 24.1.2022

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